一、Sign-Changing and Multiple Solutions Theorems for Semilinear Elliptic Boundary Value Problems with Jumping Nonlinearities（论文文献综述）
刘伟[1]（2020）在《非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究》文中认为本文研究非凸问题鞍点计算的新算法及其应用,主要内容分为四个部分.第一部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的局部极小极大方法（LMM）.首先,我们给出一类推广的局部极小极大原理,并从连续动力学的角度理解LMM能以稳定方式计算不稳定鞍点的数学本质.然后,我们在使用一般下降方向的LMM算法框架下,系统地讨论各种步长搜索准则的可行性,并建立完整的全局收敛性结果.这使得各种高效的优化策略可以应用到LMM算法中.特别地,我们提出全局收敛的Barzilai-Borwein（BB）型LMM、共轭梯度型LMM和L-BFGS型LMM三类新的LMM算法,用于改进传统LMM算法的计算效率.最后,我们将新的LMM算法应用于几类半线性椭圆边值问题、带非线性边界条件的椭圆问题和Kirchhoff型拟线性非局部问题的多解计算,并比较不同LMM算法的数值性能.广泛的数值结果表明,这三类新的LMM算法能显着地提高传统LMM算法的计算效率.第二部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM（VGOLMM）.首先,基于对一类广义的VGOLMM动力系统的分析,我们提出使用一般下降方向的广义VGOLMM算法框架,并在这一框架下讨论不同步长搜索准则及相应的全局收敛性.许多高效的优化策略可以用于实现该VGOLMM算法框架.由于BB策略的简单性和高效性,我们提出使用BB型步长的VGOLMM算法.最后,我们将新的VGOLMM算法应用于散焦型非线性Schr?dinger方程和一类Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题的多解计算,得到了丰富的数值结果.数值结果表明,使用BB型步长的VGOLMM算法比原始VGOLMM算法的收敛更快.第三部分,我们研究计算玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）基态解的精确、高效的新算法.BEC的基态解通常定义为相应的Gross-Pitaevskii（GP）能量泛函在某些约束条件下的最小值点,离散归一化梯度流法（GFDN,或虚时间演化法）是计算BEC基态解的最主要的方法之一.我们以单组分BEC和spin-1 BEC模型为例,通过分析和数值实验说明,采用基于GFDN的几种典型时间离散格式计算BEC基态往往会得到误差依赖于时间步长的不准确的结果,这是本文的一个重要发现.为了改进GFDN,我们提出计算BEC基态解的带Lagrange乘子的梯度流法（GFLM）,并证明基于GFLM的各种典型的时间离散格式均能与基态解的Euler-Lagrange方程精确匹配.进一步,我们将GFLM推广到具有挑战性的一般spin-F BEC模型,并研究确定投影常数的方法.由于精确投影方法往往在计算上比较复杂或缺乏投影常数的存在唯一性保证,我们提出两类非精确投影策略,使得投影常数可以直接显式计算,并估计它们的约束违反度.最后,我们给出spin-1,spin-2和spin-3情形的广泛的数值结果以及观测到的一些非常有趣的基态现象.第四部分,我们研究计算约束鞍点的新算法并应用于BEC激发态计算.首先,我们提出计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学（CGAD）方法,证明其稳定平衡点是具有对应指标的约束鞍点,并对一类理想化的CGAD建立约束鞍点附近的局部指数收敛性.然后,我们将CGAD应用到BEC模型的激发态计算.由于BEC的激发态对应于GP能量泛函在某些约束条件下的能量高于基态的临界点,因此GP能量泛函的约束鞍点一定是激发态解.我们应用CGAD计算单组分BEC模型对应的GP能量泛函在单位球面约束下的鞍点,并设计基于（半隐）向后向前Euler时间离散格式和Gram-Schmidt正交规范化过程的高效数值格式.最后,我们基于一维和二维数值实验,发现了一些新的激发态解和有趣的物理现象.
荣婷[2]（2019）在《基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱及其应用》文中研究说明本文我们将研究如下椭圆边值问题其中Ω是RN中的有界光滑区域,N≤3,p∈[2,2*),u+=max{u,0},u-=min{u,0}以及u=u++u-.当N=1，2时,2*=∞;当N=3时,2*=6.如果此问题存在非平凡解,那么对应的（α,β）构成的集合称为相应于上述问题的Fu（?）ik谱.当p=2时,上述问题考虑的是经典的Laplace问题的Fu（?）ik谱,它有广泛的应用,如非线性梁振动,悬索桥的振动以及竞争种群演化等.当p=4时,上述问题为基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱.本文主要的研究方法是非线性泛函分析中的临界点理论和变分法.本文共五章.第一章,首先介绍本文研究课题的来源,然后概述Laplace问题和p-Laplace问题的Fu（?）ik谱的一些研究背景,国内外的研究现状,最后陈述本文的主要结果.第二章,我们将应用minimax方法研究如下基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题其中Ω是RN中的有界光滑区域,N≤3.如果此问题有非平凡解,那么对应的（α，β）构成的集合称为基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱,记为Σ.进一步,若解是定号的,则（α,β）构成的集合称为基尔霍夫型问题的平凡Fu（?）ik谱;若解是变号的,则（α,β）构成的集合称为基尔霍夫型问题的非平凡Fu（?）ik谱,记为Σo.在这一章中,主要研究Σ的构成及性质.特别地,区域Ω满足条件（D）,即Ω是RN中的开球，N≤3;或者Ω是R2中关于x方向和y方向对称,并且关于x方向和y方向是凸的开集.0.1基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱曲线首先,我们应用Lagrange乘子法把研究基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱转化为研究泛函Is限制在S上的临界点.如图0.1所示,我们获得了三条基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱曲线L1=（{μ1} ×（-∞,μ1]）U（（-∞,μ1]× {μ1}）,L2=（μ1} ×[μ,∞））U（[μ1，∞）× {μ1}）以及C={（s+c（s）,c（s））:s ∈ R}.进一步,我们研究了三条曲线的性质.关于折线L1和L2,我们证明了如下结果.i)基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题的定号非平凡解对应的点（α，β）在十字线L:=L1U L2上;（ii）如果（α，β∈ L,那么基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题的解一定是定号的;（iii）基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题的变号解对应的点（α,β）在折线L2的右上方,即如果（α，β）∈Σ0,那么α>μ1，β>μ1.基于Σ0的性质,可以证明曲线C在下述定理的意义下是Σ中的第一非平凡曲线.定理2.1.6 c（s）=min{β:（s+β,β）∈ Σ0}.最后,我们还研究了函数c和曲线C的性质.如图0.1所示,曲线C还可以表示为C={（α,β）∈（0,∞）2:α=β+c-1（β）}.它在αOβ平面上关于对角线对称,并且渐近于折线L2.第二章的内容已经发表在《Nonlinear Analysis》,见[55].在第三章中,我们将考虑Σ的几个应用.Fu（?）ik和Dancer在引入Fu（?）ik谱时提到，Fu（?）ik谱对于带有跳跃非线性项的半线性椭圆边值问题是非常关键的.因此,很自然的一个想法就是Σ对于带有跳跃非线性项的基尔霍夫型问题也是非常关键的.于是,我们考虑了如下边值问题其中Ω满足条件（D）,非线性项f∈C（Ω×R,R）且存在某个点x0 ∈Ω,使得f（x0,0）≠0.进一步,假设f满足（f）存在f±∞ ∈R,使得limt→∞f（x,t）/t3=f±∞关于x ∈Ω一致成立.通过Σ获得上述问题对应泛函的紧性结果.再结合山路定理,证明了非平凡解的存在性.这部分结果已经发表在《Applied Mathematics Letters》,见[84].关于Σ的第二个应用,我们研究了方程∫解的存在性.这里Ω是RN中的有界光滑区域,N≤3,f由两个相关算子的第一特征值刻画.在文献[60]中,Liang,Li和Shi考虑了上述方程,其中非线性项/满足（f1）f∈C（Ω×R,R）且f（x,t）≥0,（x,t）≥0,（x,t）∈Ω×（0,∞,0）];（f3）存在f0,f∞∈R+:=[0,∞）,使得关于x ∈Ω一致成立.他们讨论了两种情形,一种是f0>λ1,f∞<μ1,另一种是f0<λ1,f∞>μ1.第一种情形,他们获得了一个正解的存在性.第二种情形,他们获得了分歧结果.§3.2节考虑了f0>λ1，f∞>μ1的情形.值得注意的是,我们考虑的非线性项在零点和无穷远点都具有拉伸性质.从拓扑度的角度看,必须添加适当的压缩性条件才能使得问题有解.为了解决这个问题,我们借助于处理如下一类（2,p）-Laplace方程的思想,其中Δpu=div（|u|p-2Vu）,p>2,Ω是RN中的有界光滑区域.假设非线性项g满足（g1）g∈C（Ω×R,R）且g（x,t）≥0,（x,t）∈Ω × R+;g（x,t）=0,（x,t）∈Ω×（-∞,0）；（g2）存在q∈（p,p*）和C0（0,Cq）,使得|g（x,t）|≤C0（1+|t|q-1）,（x,t）∈Ω×R,其中（g3）存在g0>λ1,g∞>v1,使得limt→0+g（x,t）/t=g0和limt→∞g（x,t）/tp-1=g∞关于x∈Ω—致成立.那么,可以获得下面解的存在性结果.定理3.2.1设g满足（g1）-（g3）.上述（2,p）-Lapce方程至少存在两个非负非平凡解.这部分结果已经发表在《Journal of Mathematical Physics》,见[54].注意到上述增长性条件（g2）对于解的存在性起着重要的作用.特别地,这个条件保证了对应的泛函满足山路几何结构.另外,我们通过pLaplace问题的Fu（?）ik谱获得了上述问题的紧性结果,进而证明了解的存在性.受到上述思想的启发,对于非线性项具有拉伸性质时的基尔霍夫方程,我们猜想也要添加类似的增长性条件,同时也利用Σ处理所要研究的问题.于是，我们获得如下条件.（f2）存在p∈（4,2*）以及C0∈（0,Cp）),使得|f（x,t）|《Co（1+|t|p-1）,（x,t）∈Ω×R,其中我们证明了在Ω满足条件（D）时,上述基尔霍夫方程至少存在两个正解.这个结果在一定意义下补充了[60]的结果.最后,我们研究了如下一类Fu（?）ik型共振情形下的基尔霍夫型问题其中Ω满足条件（D）,（α,β）∈,非线性项/包含幂函数|μ|q-2u,q∈（1,4）的情形.如果（α,β）∈Σ，那么我们称上述问题在无穷远处是共振的;如果（α,β）（?）Σ，那么称上述问题在无穷远处是非共振的.在§3.3节中,通过Σ获得了上述问题在共振情形和非共振情形下的紧性结果,进而获得非平凡解的存在性.在第四章中,我们研究了如下p幂次基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题其中Ω满足条件（D）,P∈（2，2*）.若此问题有非平凡解,则（α,/3）构成的集合称为p幂次基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱,记为∑.这一章主要研究Σ的构成及性质.当p=4时,Σ即为∑.因此,上述研究的Fu（?）ik谱问题可以看成是基尔霍夫型Fu（?）ik谱问题的推广.首先,为了研究Σ,需要考虑下面的特征值问题/其中Ω满足条件（D）.在§4.2节中,我们证明了是上述问题的第一特征值,并且存在相应的正的特征函数ψ1∈H10（Ω）满足|ψ1|p=1.进一步,证明了上述问题的对应于特征值应μ≠μ1的特征函数是变号的.从而μ1是单重的特征值.其次,类似于第二章的思想,通过寻找I2限制在S上的临界点研究∑.在§4.3节中,我们获得了十字线L=L1∪L2∩Σ，其中L1=（{μ1} ×（-∈，μ1]）∪（（-∞，μ1]× {μ1}）,l2=（{μ1} ×[μ1,∞））∪×{μ1}）.接着研究了L的性质.然后,利用流形上的山路定理构造了一条曲线C={（s+c（s）,c（s））:s∈R}∩Σ.同时,还研究了它的性质.值得注意的是,虽然我们将Σ推广到Σ,并且获得了三条曲线,但是在p幂次情形下并没能够证明曲线C是Σ中的第一非平凡曲线.主要原因是此时处理的非局部问题是p次的,在具体证明过程中构造理想的道路并对其能量做细致的估计比较困难.第一非平凡性是否只对特殊的p才成立,目前我们仍在考虑这个问题.在第五章中,应用Σ研究了一类一般的基尔霍夫方程其中Ω满足条件（D）,M ∈ C（R+，R+）,f在零点渐近线性,无穷远点渐近（p-1）-线性,p∈（2,2*）.为了获得上述方程的解,我们通过Σ的性质研究了上述问题对应泛函的紧性条件,得到了相应的紧性结果,即定理5.1.1.最后通过这个紧性结果,我们获得了正解的存在性.
宋玥蔷[3]（2019）在《具有临界指数的分数阶微分方程的存在性与多解性》文中认为本学位论文主要研究具有临界指数的分数阶微分方程解的存在性与多解性.首先,我们研究了两类带有临界指数增长的分数阶Kirchhoff型问题:在有界区域内研究了一类带有变号权函数的分数阶Kirchhoff型方程,利用山路引理结合分数阶版本的集中紧性原理获得了多解性结果;在全空间中研究了一类带有临界指数的分数阶Kirchhoff型方程,通过对位势函数和扰动项施加一定的增长性条件,利用变分方法获得了非平凡解存在性和多解性.其次,我们研究了两类带有电磁场的分数阶Kirchhoff型问题.由于电磁函数的出现导致考虑的函数空间和一些经典的估计式不再适用,需要对这类问题作出全新的考虑.在有界区域内,我们考虑了一类带有电磁场和临界非线性项的分数次&-Laplacian算子的分数阶Kirchhoff型方程,利用分数阶版本的集中紧性原理证明了（）(8条件的成立,结合一个新的对称的山路引理获得无穷多解的存在性,并证明这些解趋近于零.在全空间中,考虑了一类带有电磁场和临界非线性项的分数次-Laplacian算子的分数阶Schr¨odinger–Kirchhoff型方程,通过对（）(8序列精细的估计证明了紧性条件的成立,结合变分方法获得多解性结果.最后,我们研究了退化情形分数阶Kirchhoff型方程,即Kirchhoff函数（0）=0的情形,这会给证明（）(8条件带来实质性困难.我们主要研究了带有临界指标的退化的分数阶Kirchhoff型方程,对Kirchhoff函数赋予合适的限制性条件和选取适当参数,证明紧性条件的成立,结合截断方法和一个新的对称的山路引理获得无穷多解的存在性。
朴梓玮[4]（2018）在《带有临界指标的分数阶Kirchhoff型问题解的存在性与多解性》文中进行了进一步梳理本学位论文集中研究了几类带有临界指标的分数阶Kirchhoff型问题解的存在性与多解性.首先,我们研究了一类带有临界指标的扰动分数阶Kirch-hoff型问题,在位势函数与非线性项满足适当的条件时,结合变分方法和集中紧性原理得到了非平凡解的存在性和多解性.其次,我们研究了有界光滑区域上带有临界指标和p-Laplacian算子的分数阶Kirchhoff型问题,利用分数版本的集中紧性原理证明紧性条件成立,然后结合截断方法和一个新的对称的山路引理获得无穷多解的存在性,并证明这些解趋近于零.最后,我们研究了全空间中一类带有电磁场和临界指标的分数阶Kirchhoff型问题,通过选取合适的参数并结合分数版本的集中紧性原理证明了紧性条件的成立,借助于山路引理证明了无穷多解的存在性.
宋树枝[5]（2016）在《含非局部算子的椭圆方程共振和近共振问题》文中指出本文利用临界点理论研究了含有非局部算子的椭圆型方程在共振和近共振条件下解的存在性及多重性.全文共由下面四部分组成.第一章为绪论,主要介绍了相关问题的背景及必要的预备知识.第二章考虑Kirchhoff方程其中Ω是RN（N=1,2,3）中有足够光滑边界（?）Ω的有界开区域,a≥0,b>0是实值常数,f：Ω×R→R是Caratheodory函数具有次临界增长.注意,这里项fΩ|▽|2dx的出现使方程不再是逐点成立.我们考虑了三种共振和近共振条件下解的存在性和多重性：（ⅰ）当f（x,u）=μu3+g（x,u）+h（x）时,运用山路引理和Ekeland’s变分原理得到了μ从左边趋近非线性主特征值μ1时多解的存在性；（ⅱ）运用G-环绕定理证明了比值4F（x,t）/bt4在特征值μk和μk+1之间振荡并可能等于μk+1时解的存在性；（ⅲ）运用鞍点定理及对泛函值的仔细估计找到了比值4F（x,t）/bt4在特征值μ1和μ’2之间振荡并可能等于μ’2时非平凡解的存在性.这里μ’2是本文重新定义出的第二个非线性特征值.第三章研究分数阶椭圆方程其中Ω（?）RN,p∈（1,+∞）,s∈（0,1）且sp<N.（-△）ps被称作分数阶的p-Laplacian算子,为非局部非线性算子,具体定义如下：由分数阶椭圆算子的定义知分数阶椭圆方程解存在性问题也属于非局部问题.假设非线性项f满足次线性增长条件.首先,我们模拟第二章的相关部分的证明,找到了分数阶p-Laplacian方程关于主特征值近共振条件下多重解的存在性结论.当p=2时,我们证明了λ从上方和下方趋近非主特征值情形下多重解的存在性.一方面,当λ从下方趋近非主特征值时,连续两次使用鞍点定理证明两个鞍点解的存在性并利用能量水平的不同进行区分.另一方面,当λ从上方趋近非主特征值时,我们在一列有限维空间上考虑此类问题,并模拟前一种情形找到了固定维数时的两个不同解.随后,通过Galerkin逼近技巧,对找到的解关于有限问题的维数取极限找到原问题的两个解.最后一章我们顺带考虑了p-Laplacian方程关于Fucik谱关于平凡谱线共振问题的解.
郭莉[6]（2015）在《高阶导数方程的数值算法及其应用》文中研究表明本文主要工作是应用局部间断有限元方法（LDG）求解偏微分方程及利用基于偏微分方程的正则化算法研究生物医学成像中的去噪问题。主要分成五部分。第一部分主要研究了具有复杂几何结构的量子定向耦合器上的量子传输现象的数值求解问题。这个现象可以由一个静态Schrodinger方程来解释,我们运用最小耗散LDG方法来求解该方程。为了保证数值格式的稳定性,本文在边界数值流通量上添加惩罚项。此外,量子传输本身的物理性质决定了其频率的变化主要在y方向上,因而针对该问题的求解,我们除了应用基于多项式基函数的LDG方法外,还应用了基于指数基函数的LDG方法来减少计算量。数值算例验证了该算法的有效性。第二部分针对含波动算子的非线性Schrodinger （NLSW）方程给出了守恒的LDG格式。NLSW方程的一个重要性质是能量守恒,而非守恒的数值格式很容易导致数值解爆破,因此我们在空间上使用LDG方法进行离散,而在时间上使用Crank-Nicholson格式进行离散,从而得到一个全离散的守恒数值格式并在理论上给出了能量守恒的严格证明。同时,我们还进一步给出了线性情形下半离散LDG方法最优误差估计的证明。数值结果证明了守恒数值格式在长时间数值模拟中的优越性。第三部分采用高阶保正LDG格式求解含有爆破解的抛物方程。对于该类方程,如果初始条件及源项都是正的,则根据极大值原理,方程的解也是正的,而不加保正限制器的高阶格式会导致错误的爆破时间和爆破区间。由于该问题是Dirichlet边界条件,为了得到最优收敛阶,我们需要在边界数值流通量上添加惩罚项。数值结果表明,保正LDG格式能够准确捕捉到爆破时间和爆破区间。第四部分主要研究基于偏微分方程正则化算法的去噪方法,主要应用于乳腺超声波弹性成像问题。传统的临床设备只能得到较为准确的轴向（平行于波）位移测算,而对于侧向（垂直于波）的位移测算质量是较低的。但是在多种临床弹性成像应用中（如模型重建及温度成像）同时获取轴向和侧向的精确超声波测算位移却是很重要的。因此,在该问题的研究中,我们主要使用在临床设备上获取的传统超声回声数据来提升侧向散斑追踪的精确度。该算法已被用于计算机模拟数据、组织模拟仿真及人体数据测试。第五部分研究如何减少生物医学领域中磁共振成像中的噪音。由于在相位对比磁共振成像中,时域解析的3D（time-resolved3D）相位对比磁共振成像或磁共振造影（PC-MRA/MRI）只用来判定基本的信息,如：临床环境下动脉瘤（aneurysm）的尺寸和流率。而计算误差和潜在的缺陷都会对磁共振的结果产生不利的影响。但是要表征内动脉瘤血液动力学（intra-aneurismal hemodynamics）中的复杂流体,则需要更精确的血管成像。因此这里主要采用基于偏微分方程正则化的去噪算法减少噪音。计算机模拟数据验证了该算法的性能。
张旭平[7]（2013）在《多项式非线性椭圆型方程多解的同伦方法》文中研究说明在科学和工程中,很多问题的数学模型可以归结为半线性椭圆型方程或方程组。本文的主要目的是研究计算具有多项式非线性的椭圆型方程边值问题多个解的数值方法。我们吸纳了特征函数展开离散化方法、多项式方程组的同伦方法、有限元牛顿法这几种方法的优点,将这几种方法有序地组织起来安放于不同求解阶段,设计了一套计算此类椭圆型方程边值问题多解的系统方法。本文包括以下几方面内容：1.为了求带多项式非线性的椭圆型方程的多个解,我们对其采用特征函数展开离散化,我们分析了其离散误差,得到误差的H1估计和L2估计。基于离散误差估计,我们设计了一个新的过滤策略以剔除离散化方程组的可能的伪解,该策略不依赖于解的性质,同时还可以提高非伪解的精度。对于过滤后的解,我们再采用有限元牛顿法进一步提高精度。2.对于特征函数展开离散化得到的多项式方程组,当所用特征函数个数增加时,求全部解的标准同伦方法效率不高。为了快速求解某离散水平Nc上的多项式方程组,我们利用其结构,对在Nc之前的逐次加细的水平上的方程组构造形变,设计了扩张同伦算法,在前一水平上多项式方程组的全部解求得之后,后一水平上多项式方程组的全部解可以利用前一水平的全部解快速求得。我们分析了该同伦所确定路径的光滑性和可达性。3.我们证明了陈传淼和谢资清提出的一个猜想,此猜想断言,关于三次非线性椭圆型方程-△u=u3,当特征函数展开法中所采用的有限维子空间是相应于一个N重特征值的特征子空间时,离散化问题至少存在3N-1个非零实解,我们将它精确化为恰好存在3N-1个非零实解。我们研究了将此猜想的结论推广到三维三次非线性情形和二维五次非线性情形,并得到了初步结果。另外,我们还得到与此相关的二维单位方块和三维单位立方体上Laplace算子特征值的所有可能重数的结果。4.对于二维单位方块上多项式非线性椭圆型方程,我们证明了特征函数展开离散化问题的解集继承了边值问题解集的对称性。根据解集的对称性,利用已证明的陈-谢猜想和陈-谢猜想五次非线性情形的类似结果,我们分别构造了对称同伦以快速计算具有一般三次非线性和一般五次非线性的椭圆型方程的离散化多项式方程组的全部解。由于对称同伦法只需跟踪代表解路径,因而可以节省很多计算量。5.牛顿法是求解非线性代数方程组的经典方法,然而这种方法对初始猜测的要求非常高,即只具有局部收敛性。阻尼牛顿法和牛顿同伦法是两种改进牛顿法的全局化方法。从决定这两种算法所跟踪路径的微分方程的角度看,这两种方法所要偱行的相轨线是一致的,然而从算法实际执行的角度看,这两种方法所产生的迭代序列却是不同的。我们分析了阻尼牛顿法和牛顿同伦法,从迭代序列的前进方向和前进步长两方面讨论这两种方法的区别和联系。
陈章[8]（2012）在《叠前全波形反演方法研究》文中认为随着油气勘探复杂程度的加深，叠前全波形反演（Full Waveform Inversion, FWI）方法作为一种能够客观反应地震波传播规律、适用于任意地质模型的方法越来越受到人们的重视，但由于其巨大的计算和存储代价，一直未能投入实际应用，近年来，随着计算机水平的发展，全波形反演已成为地球物理学者们研究的热点问题。本论文针对叠前FWI存在的问题展开了一系列研究，深入分析了FWI理论，建立了一套比较完整的反演系统。所做工作和取得成果主要包括：1.根据扰动理论，详细推导了声波近似下的介质参数FWI基本公式，给出了共轭梯度法FWI的基本流程；2.推导了剩余波场的带完全匹配层（Perfectly Matched Layer, PML）吸收边界的交错网格高阶有限差分逆时外推公式，同时给出了剩余波场逆时外推时的PML构造和外推的基本流程；3.推导了本文给定目标函数下的迭代步长线性估计法计算公式；4.针对直达波的消除，分析了FWI与常规偏移成像中直达波消除的不同，给出了全波场记录中直达波消除的方案；5.针对层间噪声的压制，从地震波传播的角度分析了噪声产生的原因，提出了利用边缘保持平滑（Edge Preserving Smoothing, EPS）滤波器压制层间干扰的方案；6.针对模型参数数量级差异太大，不能同时得到有效更新的问题，提出了对数型归一化方案，并推导了归一化之后的模型对偶扰动量计算公式；7.针对传统的迭代步长计算量太大的问题，采用了Shi提出的参考模型非线性控制（Model Reference Nonlinear Control, MRNC）反演过程控制方法计算迭代步长，并对原始计算公式进行了适当变换，避开了Jacobian矩阵的计算，同时减少了计算量和存储量，使得反演能在较少的迭代次数内达到比较理想的结果；8.构建了FWI相关软件模块，实现了算法核心代码，并对几种典型的地质模型进行了实验仿真，取得了较好的效果。
杨海建[9]（2010）在《两类非线性系统的区域分解算法的研究》文中提出现实中的许多科学问题往往需要大规模计算,并且需要极高的精度.这就要求我们能够设计出新的更有效的算法来解决这些问题.随着并行计算机的出现,并行计算成为解决这类问题的一种相当重要的手段.同时随着科学技术和并行计算能力的提高,我们可以解决诸如约束条件为非线性偏微分方程组的优化问题和由障碍问题,自由边界问题等得到的互补问题.这种计算复杂性的上升趋势要求我们设计可扩展的并行数值算法和现代软件工程技术,以便于发展数字实验室.区域分解法是上世纪八十年代崛起的新算法.其思想是将计算区域分为若干子区域,将原问题的求解转化为相应子区域上子问题的求解.区域分解法是一类功能强大的算法,广泛应用于大规模稀疏的线性和非线性方程组.在众多不同的区域分解法中,我们主要侧重于一类Schwarz算法.本论文测试的线性Schwraz预处理条件子是建立在两类具有挑战性的问题上的：在计算流体力学中由边界控制的非定常不可压缩流问题和由障碍问题,自由边界问题等得到的互补问题.本文介绍了几类鲁棒的,可扩展的并行算法来解这两类复杂的问题,并且包括了以下三部分：首先,我们考虑了一类代数的乘性Schwarz迭代法用来解带H+-矩阵的线性互补问题.证明了由乘性Schwarz算法所产生的序列在没有任何限制初始点的情况下收敛于线性互补问题的唯一解.对于不同的重叠尺度,我们分析了算法的收敛率.当线性互补问题中的矩阵A是—M-矩阵且初始点在上解集时,算法所产生的序列是一个单调序列.数值试表明了乘性Schwarz迭代法的有效性.接下来,我们考虑了一类并行的区域分解法来解由障碍问题,自由边界问题等所产生的互补问题.对于此类问题,半光滑牛顿法是一个好的选择,但是这类方法对于大规模计算是不合适的,因为牛顿迭代次数对于网格尺寸是不可扩展的：即,随着网格的加细,非线性迭代次数以两倍的形式增长.因此我们考虑了一类并行两网格半光滑Newton-Krylov-Schwarz （NKS）算法来解这类互补问题.这类算法包含了非精确半光滑牛顿法,磨光的网格序列法和两水平的限制Schwarz预处理技术.从数值方面,我们的算法相对于牛顿迭代次数和线性迭代次数来说是可扩张的.此外,该方法对通常和障碍问题相关的不连续性问题也是不敏感的.最后,我们考虑了一类并行的Lagrange-Newton-Krylov-Schwarz （LNKSz）算法来解带时间项的二维的Navier-Stokes方程的优化问题.此算法是全隐格式的并且允许大的时间步长.在LNKSz算法中,我们首先得到Lagrangian函数和KKT条件,然后带线搜索的非精确牛顿法可以应用在KKT条件上.在每个牛顿步,KKT条件所对应的雅可比系统可以用Schwarz预处理的Krylov子空间方法来解.我们证实了LNKSz是一类有效的算法来解决这类难题.为了说明算法的可扩展性和鲁棒性,我们在不同雷诺数和时间步长的范围中计算了几个实际问题,并且在多达一千多个处理器且未知量的数目多于几百万的情况下测试了大规模计算的数值结果.
刘汉泽[10]（2009）在《基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究》文中研究说明偏微分方程又称数学物理方程,它来源于物理学、力学等自然科学及工程技术中所提出并建立的数学模型。早期的偏微分方程有根据牛顿引力理论推导出的描述引力势的拉普拉斯（Laplace）方程和泊松（Poisson）方程,还有描述波的传播的波动方程（wave equation）,描述传热和扩散现象的热传导方程（heat equation）等,这些都是古典的偏微分方程。这些方程在偏微分方程理论的发展中发挥了重要的作用,时至今日,它们仍然是偏微分方程的基础和必学内容之一。自19世纪开始,随着工业革命的兴起和科学技术的发展,相继出现了大量新的偏微分方程,其中最基本的有描述电磁场变化的麦克斯韦方程（组）,描述微观粒子的薛定谔方程,以及爱因斯坦方程、杨-米尔斯方程、反应扩散方程等等。随着现代科学和技术的进步,还将会不断涌现出新的越来越多的偏微分方程,尤其是非线性的偏微分方程或方程组。其中,非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型,也是非线性数学物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题之一。通过对非线性波方程的求解和定性分析的研究,有助于人们弄清系统在非线性作用下的运动变化规律,合理解释相关的自然现象,更加深刻地描述系统的本质特征,极大地推动相关学科如物理学、力学、应用数学以及工程技术的发展。本文以李（S.Lie）对称分析为基础和工具,综合运用动力系统的分支理论与方法、潘勒维尔（Painleve）分析、幂级数法（含推广的幂级数法）、待定系数法以及一些特殊的技巧与方法,研究偏微分方程的精确解及其相关的方程与解的性质。具体而言,即首先运用李对称分析得到方程的向量场或对称,然后利用相似约化将所研究的（非线性）偏微分方程化为常微分方程。这一步对方程而言可以说实现了实质性的转化,即把一个复杂的偏微分方程,包括各种非线性的、变系数的偏微分方程转化为一个常微分方程。接下来的工作就是研究这个常微分方程的解,求出了常微分方程的解,也就相应地得到了偏微分方程的解。这就是利用对称分析研究偏微分方程精确解的基本思路。当然,对称分析的作用远不止此,它与系统的可积性的研究还有着密切的关系,对称是系统本质属性的一种描述和刻画,它在偏微分方程与可积系统的研究中有着重要的意义与作用。这些我们将在研究偏微分方程精确解的同时一并加以介绍。至于如何研究约化得到的常微分方程,则主要涉及常微分方程与动力系统的理论与方法、幂级数法以及一些特殊的技巧与方法。本文的主要内容如下：第一章绪论。本章介绍了非线性科学的主要内容以及发展现状,综述了偏微分方程,尤其是非线性波方程的发展历史、研究现状、主要研究方法以及取得的主要成果。其中重点介绍了偏微分方程研究的主要方法,特别是对称分析在研究偏微分方程中的意义与作用。概括而言,这些方法各有特点,也都有各自的适用范围,都在特定的时期、特定的条件和各自的范围内发挥了应有的作用。有的方法可以说长盛不衰,历久弥新,至今还有强大的生命力,在偏微分方程的研究中仍然发挥着重要的作用。当然,任何一种方法都不是万能的,不会也不可能指望用一种方法解决所有的问题。本章的出发点是对各种主要的方法加以总结回顾,目的不是评判哪种方法的优劣,而是通过比较和总结,更好地继承和发扬其中蕴含的优秀的思想方法,从过去经典的思想与方法中汲取营养,更好地面向未来,进一步更深入地开展对现代偏微分方程及相关非线性科学的研究。第二章理论准备。在这一章,列举了本文所涉及的一些相关知识,如李群与李代数、对称与向量场、向量场的延拓、Painleve分析简介、动力系统的分支理论与方法以及雅可比（Jacobi）椭圆函数等。限于篇幅,有些内容只列出主要概念与结论,详细内容可查阅后面的相关参考文献,此处不展开叙述。单列本章的目的是考虑到李群与对称分析的相关理论与知识比较多,通过本章,对有关的理论知识有所了解,便于后面的具体运用。第三章基于李对称分析,研究了一般的Burgers’方程。该方程是一个既有非线性项又有二阶偏导项的非线性波方程,在理论和实践中有广泛的应用价值。它在一定条件下存在不同类型的孤波解,如冲击（震荡）波、稀疏波等。在流体力学、空气动力学的许多波动问题的研究中都要用到这个方程。例如在流体力学模型方程中,有线性Burgers’方程ut+aux=μuxx和非线性Burgers’方程ut+[f（u）]x=μuxx。当f（u）=1/2u2时,后者即为ut+uux=μuxx。在一定的初、边值条件下,可以得到这两类Burgers’方程的精确解,从而了解系统相应的流体力学性质。另外,Burgers’方程和许多重要的数学物理方程有着密切的联系,在非线性科学、流体力学以及工程技术中起着重要的基础性作用。在对称分析的基础上,首先求出了方程的群不变解以及任意次的迭代解。然后,利用对称约化将原方程化为各种形式的常微分方程,进而求出方程的精确解。其中应用了幂级数法（Power series method）,得到了非线性、非自治的常微分方程严格的幂级数解,从而也就得到了相应的Burgers’方程的精确解,其中包含了不少新的显式精确解。第四章研究推广的mKdV方程,众所周知,KdV方程是非常着名的浅水波方程,它起源于对水波问题的研究,KdV型方程可以描述各种浅水波的运动,在流体力学中有着广泛的应用。特别地,对于修正的KdV型方程,最近的研究发现可用于描述宇宙环境中超新星周围以及土星环的尘埃离子的波动规律,对于天体力学和大气物理的研究有着重要的意义。首先,通过对称分析得到了它的向量场。然后,由一般到特殊地得到了一些特殊而经典的KdV、mKdV方程的向量场。接下来,通过对称约化将推广的mKdV方程化为常微分方程,为下一步求解作准备。本章的一个亮点是运用了动力系统的分支理论与方法,详细全面地得到了推广的mKdV方程的显式精确解,包括幂级数解,同时还研究了系统的动力学性质。第五章研究了一类短脉冲方程的精确解。短脉冲方程也是一类非常重要的非线性波方程,可以描述一些比较特殊的波。深入研究这类方程及其各种孤波解,对于了解一些特殊的波动问题具有重要意义。同时,该方程是一个重要的非线性数学物理方程,它在工程技术以及物理学、力学的许多领域都有重要应用。此方程不同于一般的非线性演化型方程,而是一个混合型的偏微分方程,这给对称分析带来了一定的困难。本章分别运用延拓法与待定系数法,得到了该方程的所有对称。其次,本章的另一特色是在运用动力系统的分支理论与方法研究方程的精确解时,引入了参数表示法,从而圆满地解决了解的显式表示问题。本章获得的这类短脉冲方程的精确解,都是用通常的方法难以得到的。第六章研究了一类变系数债券方程。变系数偏微分方程最初主要来源于数学物理问题及大量的工程技术问题,但是,随着社会的进步和现代科学技术的不断发展,在各种经济社会领域、生物化学与环保领域、通讯信息与金融证券等领域,由于实际的需要也提出了越来越多的偏微分方程,这些方程一般形式复杂,且常常是变系数的。本章研究的变系数方程在金融数学与金融工程中经常用到,尤其是在期权定价问题的研究中,这类偏微分方程发挥着日益重要的作用。偏微分方程理论与现代经济、金融研究相结合,正成为一种重要的发展趋势。首先,对两个具体的变系数债券方程进行了对称分析,分别得出了它们的向量场。然后,又分别求出了它们的单参数群与群不变解。第三,利用相似变换分别将它们约化为常微分方程。第四,进一步求出它们的精确解。本章在内容上与前几章的主要不同之处在于,一是对称分析,由于所研究的方程是变系数的,因此,对称分析要比常系数方程复杂得多。二是在求精确解时除了幂级数法之外,还用了待定系数法等一些特殊方法,从而得到了方程的显式精确解,收到了较好的效果。三是在本章最后,我们还就一般形式的变系数债券方程进行了讨论,得出了它的对称及相应的精确解。第七章研究了三个非线性演化方程。这类方程在非线性科学与工程技术中有着重要的意义与作用,是许多波动问题和力学问题的重要理论模型,在生物数学等领域也有着重要的应用。首先运用Painleve分析得到了它们的Painleve性质,以及相应的Backlund变换、截断展开式等。然后再通过对称分析,分别得到了它们的对称,并通过比较分析了Painleve分析与对称分析的异同。接着研究它们的精确解,除了基于对称分析的精确解,我们还得到了方程的基于Painleve截断展开的精确解。这些解的获得,是单独用任何一种方法所不可能得到的,这也说明了二者结合的意义和作用。另外,通过本章的研究可以发现,对于有些即使是不可积的方程,我们仍然可以利用对称分析与Painleve分析研究它们的精确解。我们知道,在可积系统的研究中,Painleve分析的主要作用是判断系统的可积性,但通过本章可以发现它还可以用于方程求解的研究。对称分析更是如此,无论是否可积,都可以通过对称分析研究方程的精确解。总之,本文研究的对象是偏微分方程,包括各种非线性的、变系数的方程。主要目的是求出方程的解,尤其是显式的精确解。所以,本文所采用的方法与工具与一般孤子与可积系统的研究有所不同,结果也不一样,可以说各有侧重。限于论文的主题,尽管系统的对称与可积性如守恒律（CL）、Backlund变换等有着密切的联系,但对系统的可积性不作过多的讨论,目的是使论文主题更突出。另外,这些方程都是重要的数学物理方程,深入研究这些方程的解及其相关性质,如Painleve性质、可积性以及各种形式的解,尤其是各种显式精确解,对于了解系统所描述的具体问题的性质与规律,有着重要的意义与作用。最后,在总结与展望中,首先概述了本文所获得的主要研究成果；然后,总结归纳了本文的主要创新点；最后,提出了围绕偏微分方程精确解的研究有待于进一步研究与思考的方向和问题。
二、Sign-Changing and Multiple Solutions Theorems for Semilinear Elliptic Boundary Value Problems with Jumping Nonlinearities（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Sign-Changing and Multiple Solutions Theorems for Semilinear Elliptic Boundary Value Problems with Jumping Nonlinearities（论文提纲范文）
（1）非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 第二章 基于新的优化策略的局部极小极大方法(LMM) |
| 2.1 推广的局部极小极大原理与LMM的动力学观点 |
| 2.1.1 推广的局部极小极大原理 |
| 2.1.2 LMM的动力学观点 |
| 2.2 使用一般下降方向的LMM算法及其全局收敛性 |
| 2.2.1 使用一般下降方向的LMM算法框架 |
| 2.2.2 标准化Armijo、Goldstein和Wolfe-Powell型搜索准则 |
| 2.2.3 非单调搜索准则 |
| 2.2.4 全局收敛性分析 |
| 2.3 三类高效的LMM算法 |
| 2.3.1 全局收敛的Barzilai-Borwein型LMM(GBBLMM) |
| 2.3.2 共轭梯度型LMM(CGLMM) |
| 2.3.3 L-BFGS型LMM(LBFGSLMM) |
| 2.4 应用于非线性边值问题的多解计算 |
| 2.4.1 半线性椭圆Dirichlet边值问题 |
| 2.4.2 带非线性边界条件的椭圆问题 |
| 2.4.3 Kirchhoff型拟线性非局部问题 |
| 第三章 基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM |
| 3.1 使用虚拟几何对象的LMM(VGOLMM)介绍 |
| 3.2 基于广义VGOLMM动力系统的局部极小极大原理 |
| 3.3 基于新的优化策略的VGOLMM及其全局收敛性 |
| 3.3.1 广义VGOLMM算法框架 |
| 3.3.2 几种典型的搜索准则 |
| 3.3.3 全局收敛性分析 |
| 3.3.4 基于BB型步长的VGOLMM算法 |
| 3.3.5 虚拟曲线的实现方法 |
| 3.4 应用于几类W-型问题的多解计算 |
| 3.4.1 散焦型非线性Schr?dinger方程 |
| 3.4.2 Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题 |
| 第四章 计算玻色-爱因斯坦凝聚体基态解的新算法 |
| 4.1 GFDN方法的局限性及其改进:带 Lagrange乘子的梯度流法(GFLM) |
| 4.1.1 计算单组分BEC基态解的GFDN方法介绍 |
| 4.1.2 计算单组分BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.1.3 多组分BEC情形(以spin-1 BEC为例) |
| 4.1.4 spin-1 BEC的数值结果 |
| 4.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.2.1 一般spin-F BEC的数学模型和一类广义的CNGF |
| 4.2.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM算法框架 |
| 4.2.3 非精确投影策略及其约束违反度估计 |
| 4.2.4 数值结果 |
| 第五章 计算约束鞍点的新算法和BEC激发态模拟 |
| 5.1 约束鞍点的定义与不稳定性指标 |
| 5.2 计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学(CGAD)方法 |
| 5.2.1 最柔上升动力学(GAD)介绍 |
| 5.2.2 约束最柔上升动力学(CGAD) |
| 5.2.3 计算高指标约束鞍点的CGAD |
| 5.3 应用CGAD方法计算单组分BEC激发态 |
| 5.3.1 线性单组分BEC模型的激发态性质 |
| 5.3.2 计算单组分BEC激发态的CGAD及其离散格式 |
| 5.3.3 数值结果 |
| 总结和未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
（2）基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱及其应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 引言 |
| §1.1 问题的引入 |
| §1.2 研究现状 |
| §1.3 研究的主要内容 |
| 第二章 基尔霍夫型问题的Fu(?)ik谱 |
| §2.1 问题及主要结果 |
| §2.2 准备工作 |
| §2.3 平凡Fu(?)ik谱的构造及其性质 |
| §2.4 非平凡Fu(?)ik谱的构造及其性质 |
| 第三章 基尔霍夫型问题的Fu(?)ik谱的应用 |
| §3.1 带有跳跃非线性项的基尔霍夫型问题 |
| §3.2 非线性项由特征值刻画的一类基尔霍夫型问题 |
| §3.3 带有Fu(?)ik型共振的基尔霍夫型问题 |
| 第四章 p幂次基尔霍夫型问题的Fu(?)ik谱 |
| §4.1 问题和主要结果 |
| §4.2 p幂次基尔霍夫型问题的特征值及其性质 |
| §4.3 Fu(?)ik谱的构造及其性质 |
| 第五章 p幂次基尔霍夫型问题的Fu(?)ik谱的应用 |
| §5.1 问题和主要结果 |
| §5.2 泛函的紧性条件 |
| §5.3 定理5.1.2的证明 |
| §5.4 定理5.1.3的证明 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的主要研究成果 |
| 致谢 |
| 个人简介及联系方式 |
（3）具有临界指数的分数阶微分方程的存在性与多解性（论文提纲范文）
| 提要 |
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 背景及意义 |
| 1.2 问题的提出 |
| 1.3 本文的记号 |
| 1.4 基本概念 |
| 1.5 重要结论 |
| 1.6 本文结构 |
| 第二章 分数阶Kirchhoff型方程解的存在性和多解性 |
| 2.1 具有临界指数和变号权函数的分数阶Kirchhoff型方程 |
| 2.1.1 引言 |
| 2.1.2 Palais-Smale条件 |
| 2.1.3 定理2.1.1的证明 |
| 2.2 带临界非线性项和分数阶p-Laplacian算子的Kirchhoff型方程 |
| 2.2.1 引言 |
| 2.2.2 问题(2.2.1)的等价形式 |
| 2.2.3 Palais-Smale条件 |
| 2.2.4 定理2.2.2的证明 |
| 第三章 带有电磁场的分数阶Kirchhoff型问题的多解性 |
| 3.1 带有电磁场和临界非线性项的分数次p&q-Laplacian算子的Kirchhoff方程 |
| 3.1.1 引言 |
| 3.1.2 预备内容 |
| 3.1.3 Palais-Smale条件 |
| 3.1.4 定理3.1.1的证明 |
| 3.2 带有电磁场和临界非线性项的分数次p-Laplacian算子的Schrodinger-Kirchhoff方程 |
| 3.2.1 引言 |
| 3.2.2 预备内容 |
| 3.2.3 Palais-Smale条件 |
| 3.2.4 主要结论的证明 |
| 第四章 带有临界Sobolev-Hardy指数的退化的分数阶Kirchhoff型方程 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 Palais-Smale条件 |
| 4.3 截断技术 |
| 4.4 主要结论的证明 |
| 第五章 结论 |
| 参考文献 |
| 附录: 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（4）带有临界指标的分数阶Kirchhoff型问题解的存在性与多解性（论文提纲范文）
| 提要 |
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 背景及意义 |
| 1.2 问题的提出 |
| 1.3 本文的记号 |
| 1.4 基本概念 |
| 1.5 本文主要结果 |
| 1.6 本文结构 |
| 第二章 带有临界非线性项分数阶Kirchhoff型问题解的存在性和多重性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 等价变分问题 |
| 2.4 (PS)条件的证明 |
| 2.5 主要结论的证明 |
| 第三章 带有临界指标的分数阶p-Laplace算子的Kirchhoff型问题无穷多解的存在性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 紧性条件的证明 |
| 3.4 定理3.1.1的证明 |
| 第四章 带有电磁场和临界非线性项的分数阶Kirchhoff型问题多解的存在性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 (PS)条件的证明 |
| 4.4 主要结论的证明 |
| 第五章 结论 |
| 参考文献 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（5）含非局部算子的椭圆方程共振和近共振问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景介绍 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 Kirchhoff方程的共振和近共振问题 |
| 2.1 预备知识及文献综述 |
| 2.2 第二个非线性特征值的定义 |
| 2.3 在μ_1近共振情况下多解的存在性 |
| 2.4 μ∈(μ_k,μ_(k+1)]的情况下解的存在性 |
| 2.5 μ∈(μ_1,μ'_2]的情况下非平凡解的存在性 |
| 第三章 分数阶椭圆方程近共振问题解的存在性 |
| 3.1 文献综述及预备知识 |
| 3.1.1 文献综述 |
| 3.1.2 预备知识 |
| 3.2 分数阶p-Laplacian方程关于主特征值近共振问题 |
| 3.3 分数阶椭圆型方程关于非主特征值近共振问题 |
| 3.3.1 主要结论 |
| 3.3.2 定理3.4的证明 |
| 3.3.3 定理3.5的证明 |
| 第四章 p-Laplacian方程关于Fucik谱共振问题 |
| 4.1 算子-△_p的Fucik谱的相关知识 |
| 4.2 p-Laplacian方程解的存在性 |
| 第五章 分析与思考 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的科研成果 |
| 致谢 |
（6）高阶导数方程的数值算法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 目录 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 间断有限元方法介绍 |
| 1.2 时间离散方法 |
| 1.3 变分方法 |
| 1.4 本文的工作 |
| 第2章 二维量子传输现象的局部间断有限元方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 模型问题以及数值方法 |
| 2.2.1 模型问题 |
| 2.2.2 模型问题的数值方法 |
| 2.3 典型的定向量子耦合器上的量子传输现象 |
| 2.3.1 量子传输现象的二维静态Schrodinger方程 |
| 2.3.2 量子传输现象的LDG方法 |
| 2.4 数值结果 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 含波动算子的非线性Schrodinger方程 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 含波动算子的非线性Schrodinger方程的局部间断有限元方法 |
| 3.2.1 复数域上的符号表示、内积和范数 |
| 3.2.2 局部间断有限元方法 |
| 3.2.3 能量守恒 |
| 3.2.4 线性方程的误差估计 |
| 3.3 时间离散 |
| 3.3.1 差分算子 |
| 3.3.2 时间离散 |
| 3.3.3 全离散格式的实现 |
| 3.4 数值结果 |
| 3.4.1 一维情形 |
| 3.4.2 二维情形 |
| 3.4.3 三维情形 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 具有爆破解的抛物方程 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 保正高阶的局部间断有限元方法 |
| 4.2.1 一维情形 |
| 4.2.2 二维情形 |
| 4.3 数值结果 |
| 4.3.1 一维情形 |
| 4.3.2 二维情形 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 乳腺超声波弹性成像去噪 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 材料和方法 |
| 5.2.1 理论背景 |
| 5.2.2 去噪算法的实现 |
| 5.2.3 应变测算 |
| 5.2.4 实验验证 |
| 5.2.5 数据分析 |
| 5.3 结果 |
| 5.3.1 数值模型结果 |
| 5.3.2 组织模拟模型数据结果 |
| 5.3.3 体内乳腺组织数据结果 |
| 5.4 讨论 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 磁共振成像去噪 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 材料和方法 |
| 6.2.1 PC-MRA数据获取 |
| 6.2.2 线下数据进程 |
| 6.2.3 基于偏微分方程去噪算法的理论背景 |
| 6.2.4 计算机合成数据的产生 |
| 6.2.5 壁剪应力及相对血压估计 |
| 6.2.6 数据分析 |
| 6.3 结果 |
| 6.4 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 附录 |
| A.1 透明边界 |
| A.2 二维情形下最优问题的解 |
| A.3 三维情形下最优问题的解 |
| A.4 壁剪应力估计和相对血压问题的计算 |
| A.4.1 壁剪应力估计 |
| A.4.2 相对血压问题的计算 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文 |
（7）多项式非线性椭圆型方程多解的同伦方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| CONTENTS |
| 表格目录 |
| 插图目录 |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 多解问题的背景 |
| 1.2 多解问题研究的历史与现状 |
| 1.2.1 微分方程理论方面 |
| 1.2.2 数值计算方面 |
| 1.3 同伦方法简介 |
| 1.3.1 一般非线性方程组的同伦方法 |
| 1.3.2 多项式方程组的同伦方法 |
| 1.4 本文的动机与研究思路 |
| 1.5 本文的内容安排 |
| 2 离散误差估计与伪解过滤策略 |
| 2.1 特征函数展开离散化的细节 |
| 2.2 特征函数展开离散化的误差分析 |
| 2.3 辨认伪解的策略 |
| 2.4 用以提高解精度的有限元牛顿法 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.5.1 特征函数展开法的精度 |
| 2.5.2 关于方程-△u=u~3的新发现的解 |
| 2.5.3 验证Lazer-McKenna猜想的数值结果 |
| 2.6 本章小结 |
| 3 扩张同伦法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 扩张同伦的构造 |
| 3.3 扩张同伦路径的光滑性与可达性 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 陈-谢猜想及其推广 |
| 4.1 陈-谢猜想的背景 |
| 4.2 陈-谢猜想的证明 |
| 4.3 陈-谢猜想的推广 |
| 4.3.1 在三维空间中的推广 |
| 4.3.2 对五次非线性的推广 |
| 4.4 Laplace算子特征值的重数 |
| 4.4.1 维区域上Laplace算子特征值的重数 |
| 4.4.2 三维区域上Laplace算子特征值的重数 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 对称同伦方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 解集的对称性 |
| 5.2.1 连续问题解集的对称性 |
| 5.2.2 离散问题解集的对称性 |
| 5.3 对称同伦的构造 |
| 5.3.1 关于三次非线性问题的对称同伦 |
| 5.3.2 关于五次非线性问题的对称同伦 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 阻尼牛顿法与牛顿同伦法的关系 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 在变换作用下的显式欧拉法 |
| 6.3 两种方法的关系 |
| 6.3.1 前进方向之间的关系 |
| 6.3.2 前进步长之间的关系 |
| 6.4 数值实验 |
| 6.5 本章小结 |
| 7 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（8）叠前全波形反演方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及其意义 |
| 1.1.1 FWI 的优势 |
| 1.1.2 FWI 存在的困难 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 FWI 算法改进策略 |
| 1.2.2 波动方程正反演算法的研究现状 |
| 1.3 本文研究内容及结构安排 |
| 1.3.1 主要研究内容 |
| 1.3.2 主要贡献及创新 |
| 1.3.3 本文结构安排 |
| 第二章 全波形反演的基本理论 |
| 2.1 反演问题的数学基础 |
| 2.1.1 变量空间 |
| 2.1.2 空间的泛函映射关系 |
| 2.1.3 泛函的变分和极值 |
| 2.2 地震波波动方程及 Green 函数 |
| 2.2.1 波动方程式 |
| 2.2.2 Green 函数法 |
| 2.3 概率反演理论 |
| 2.3.1 最小二乘法 |
| 2.3.2 其它最小化准则 |
| 2.4 共轭梯度法 |
| 2.4.1 失配函数 S m 的梯度 |
| 2.4.2 共轭梯度法 |
| 2.5 先验信息约束 |
| 2.5.1 固定参数约束 |
| 2.5.2 线性约束 |
| 2.5.3 非线性约束 |
| 2.5.4 先验分布约束 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 共轭梯度法全波形反演 |
| 3.1 全波形反演流程 |
| 3.1.1 全波形反演问题描述 |
| 3.1.2 介质参数的 Frechét 导数 |
| 3.1.3 介质参数的对偶空间映射 |
| 3.1.4 介质参数的共轭梯度反演 |
| 3.1.5 时间域与频率域全波形反演对比 |
| 3.2 波场的逆时外推 |
| 3.2.1 交错网格高阶有限差分法 |
| 3.2.2 剩余波场的逆时外推 |
| 3.3 迭代步长计算 |
| 3.4 模型反演示例 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 全波形反演的改进策略 |
| 4.1 噪声压制 |
| 4.1.1 正演模拟波场的直达波消除 |
| 4.1.2 层间噪声压制 |
| 4.2 模型参数归一化 |
| 4.3 模型更新策略调整 |
| 4.3.1 MRNC 的基本原理 |
| 4.3.2 反演过程的控制 |
| 4.3.3 Frechét 导数计算 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 全波形反演软件模块构建及模型实例 |
| 5.1 软件模块构建 |
| 5.2 FWI 模型实例与分析 |
| 5.2.1 倾斜面模型 |
| 5.2.2 正断层模型 |
| 5.2.3 逆断层模型 |
| 5.2.4 薄层模型 |
| 5.3 本章小结 |
| 第六章 全文总结与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 存在问题与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻硕期间取得的研究成果 |
（9）两类非线性系统的区域分解算法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 插图索引 |
| 附表索引 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 概述 |
| 1.2 创新点及主要内容 |
| 1.3 记号及基本模型 |
| 1.3.1 记号 |
| 1.3.2 基本模型 |
| 第2章 解带H-矩阵的线性互补问题的乘性Schwarz算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 乘性Schwarz算法 |
| 2.3 预备知识 |
| 2.4 算法收敛性 |
| 2.5 重叠尺度对算法的影响 |
| 2.6 对于M-矩阵的单调收敛性 |
| 2.7 数值实验 |
| 第3章 求解非线性互补问题的并行两网格半光滑Newton-Krylov-Schwarz算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 互补问题的半光滑函数 |
| 3.3 两网格半光滑Newton-Krylov-Schwarz算法 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 测试的问题 |
| 3.4.2 一水平Schwarz预条件算子 |
| 3.4.3 两水平Schwarz预条件算子 |
| 第4章 求解非定常不可压缩流边界控制的全隐格式Lagrange-Newton-Krylov-Schwarz算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 边界流控制的表达式和全隐式时间离散格式 |
| 4.3 并行的Lagrange-Newton-Krylov-Schwarz算法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 数值方法的细节 |
| 4.4.2 风洞流问题 |
| 4.4.3 反向管道流问题 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A 攻读学位期间所发表的学术论文目录 |
（10）基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性科学研究的基本概况 |
| 1.2 孤立波与孤立子 |
| 1.3 偏微分方程求解方法概述 |
| 1.3.1 付里叶(Fourier)变换和拉普拉斯(Laplace)变换法 |
| 1.3.2 贝克隆(Backlund)变换和达布(Darboux)变换法 |
| 1.3.3 反散射方法 |
| 1.3.4 分离变量法 |
| 1.3.5 广田(Hirota)双线性法和齐次平衡法 |
| 1.3.6 其他方法简介 |
| 1.4 偏微分方程与可积系统研究 |
| 1.5 偏微分方程的定性和稳定性研究 |
| 1.5.1 偏微分方程与动力系统 |
| 1.5.2 偏微分方程的定性研究 |
| 1.5.3 偏微分方程的稳定性研究 |
| 1.6 李对称与相似约化研究综述 |
| 1.7 本文的主要工作 |
| 第二章 理论准备 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 微分流形 |
| 2.3 李群及其李代数简介 |
| 2.4 不变群与向量场、向量场的延拓 |
| 2.5 对称与待定系数法 |
| 2.6 微分方程与动力系统 |
| 2.6.1 二维可积系统 |
| 2.6.2 研究非线性方程的动力系统方法 |
| 2.6.3 雅可比(Jacobi)椭圆函数 |
| 2.7 潘勒维尔(Painleve)分析简介 |
| 2.8 本章小结 |
| 第三章 Burgers'方程的对称分析与精确解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 方程(3.1)的对称分析 |
| 3.3 方程(3.1)的对称约化与精确解 |
| 3.3.1 Burgers'方程的迭代解 |
| 3.3.2 Burgers'方程的约化解 |
| 3.4 基于幂级数法的方程(3.1)的精确解 |
| 3.5 本章小结与评注 |
| 第四章 推广的mKdV方程的对称分析、动力系统研究和精确解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 推广的mKdV方程的对称分析 |
| 4.3 推广的mKdV方程的行波解 |
| 4.3.1 方程(4.1)的行波变换 |
| 4.3.2 系统(4.5)相图分支 |
| 4.3.3 方程(4.1)的精确行波解 |
| 4.4 推广的mKdV方程的严格幂级数解 |
| 4.5 本章小结与注释 |
| 第五章 短脉冲方程的对称分析、动力系统分析与精确解 |
| 5.1 引言及预备知识 |
| 5.2 短脉冲方程的对称分析 |
| 5.3 对称的待定系数法 |
| 5.4 短脉冲方程的精确行波解 |
| 5.5 短脉冲方程的精确幂级数解 |
| 5.6 本章小结与注释 |
| 第六章 变系数债券方程的对称分析与精确解 |
| 6.1 引言及预备知识 |
| 6.2 债券方程的对称分析 |
| 6.3 对称约化与方程的精确解 |
| 6.4 方程的精确幂级数解 |
| 6.5 进一步的讨论 |
| 6.6 本章小结与注释 |
| 第七章 非线性演化方程的Painleve分析、对称与精确解 |
| 7.1 引言与预备知识 |
| 7.2 非线性演化方程的Painleve分析 |
| 7.3 三个非线性演化方程的对称分析 |
| 7.4 非线性演化方程的对称约化与精确解 |
| 7.4.1 非线性演化方程的行波解 |
| 7.4.2 非线性演化方程的其它约化解 |
| 7.5 非线性演化方程的其它精确解 |
| 7.5.1 非线性演化方程精确的幂级数解 |
| 7.5.2 基于Painleve截断展式的非线性演化方程的精确解 |
| 7.6 本章小结与注释 |
| 第八章 总结与展望 |
| 8.1 主要研究结果 |
| 8.2 主要创新点 |
| 8.3 研究展望 |
| 参考文献 |
| (一) 攻读博士学位期间接受发表的学术论文 |
| (二) 攻读博士学位前发表的部分论文 |
| 致谢 |
四、Sign-Changing and Multiple Solutions Theorems for Semilinear Elliptic Boundary Value Problems with Jumping Nonlinearities（论文参考文献）
- [1]非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究[D]. 刘伟. 湖南师范大学, 2020(01)
- [2]基尔霍夫型问题的Fu（?）ik谱及其应用[D]. 荣婷. 山西大学, 2019(01)
- [3]具有临界指数的分数阶微分方程的存在性与多解性[D]. 宋玥蔷. 吉林大学, 2019(10)
- [4]带有临界指标的分数阶Kirchhoff型问题解的存在性与多解性[D]. 朴梓玮. 吉林大学, 2018(01)
- [5]含非局部算子的椭圆方程共振和近共振问题[D]. 宋树枝. 西南大学, 2016(01)
- [6]高阶导数方程的数值算法及其应用[D]. 郭莉. 中国科学技术大学, 2015(09)
- [7]多项式非线性椭圆型方程多解的同伦方法[D]. 张旭平. 大连理工大学, 2013(05)
- [8]叠前全波形反演方法研究[D]. 陈章. 电子科技大学, 2012(02)
- [9]两类非线性系统的区域分解算法的研究[D]. 杨海建. 湖南大学, 2010(12)
- [10]基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究[D]. 刘汉泽. 昆明理工大学, 2009(12)