一、实对称正定矩阵的推广（论文文献综述）
蹇焕燕[1]（2021）在《几类分数阶微分方程的快速数值算法研究》文中进行了进一步梳理分数阶方程作为整数阶方程的推广,近年来被广泛用于建模各种物理和科学现象。由于分数阶算子的非局部性,分数阶模型能更精确地描述具有遗传和记忆性质的材料和过程。大多数分数阶方程的解析解都不易确定,所以一般研究其数值方法。此外,分数阶算子的离散通常导出稠密矩阵,这也造成了极大计算困难。因此,发展其高性能算法也是十分迫切的。本文工作主要分为以下四个方面:1.针对时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程,提出了一个快速隐式差分格式。首先通过数值积分,将该方程转换为一个多项时空分数阶方程。然后提出一个隐式差分格式来求解这个多项时空分数阶方程,并讨论它的无条件稳定性和收敛性。另外,发展了预处理的Krylov子空间算法来计算导出的Toeplitz-like线性系统。最后数值实验结果支持了理论发现,并验证了算法的有效性。2.针对时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程,建立了一个快速二阶差分格式。利用加权位移Gr¨unwald公式离散时间导数和分数阶中心差分公式离散空间导数,从而导出差分格式。另证明了该格式在时间、空间和分布阶上的稳定收敛性。一维时,提出基于Gohberg-Semencul公式的预处理Krylov子空间算法来计算Toeplitz系统。二维时,构建带截断预处理子的全局预处理共轭梯度法来求解Sylvester系统。数值实验结果验证了提出差分格式和快速算法的有效性。3.针对非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,发展了一个快速隐式积分因子方法。首先利用分数阶中心差分公式空间离散该方程,得到一个非线性常微分方程系统。其次,为获得良好的稳定性和鲁棒性,采用隐式积分因子方法求解该系统。另外,为了降低计算量,考虑到系数矩阵是对称正定Toeplitz的,提出了基于Gohberg-Semencul公式的位移-逆Lanczos方法来计算指数矩阵-向量乘积。最后用数值实验证实了理论结果的正确性,并验证了快速求解算法的有效性。4.针对二维的非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,提出了一个非均匀网格的快速紧隐式积分因子方法。利用加权位移Gr¨unwald-Letnikov方法对该方程空间离散后,得到一个矩阵形式的非线性常微分方程系统。鉴于紧隐式积分因子方法的稳定性,将其与非均匀时间网格和对角化技术结合,构建了一种非均匀时间网格的快速紧隐式积分因子方法。与已有方法相比,该方法避免了直接计算稠密指数矩阵并显着降低了计算成本。数值实验也验证了提出方法的有效性。
刘潇奕[2]（2021）在《利用同时合同对角阵解决几类正定矩阵相关问题》文中提出本文利用了矩阵的同时合同对角阵,用了两种不同的方法,发现了一些正定矩阵中特有的性质,并利用类似的方法推广到了半正定矩阵的情形.进一步地,利用得到的性质解决了一些行列式估值的问题,并给出了全国大学生数学竞赛决赛中一道线性代数题目的另解.
张维红[3]（2020）在《复对称问题、线性互补问题和线性离散不适定问题的四种数值解法研究》文中研究指明本文主要针对三类大型稀疏线性系统的数值求解问题展开研究,这三类线性系统分别是复对称线性方程组、线性互补问题以及线性离散不适定问题.对这些问题构造快速高效的数值求解方法具有重要的理论价值和实际意义.第二章中对于一类常见的复对称线性方程组,我们将极小残量技术与修正的Hermitian和反Hermitian分裂（MHSS）迭代方法相结合,提出了一种求解上述复对称线性方程组的新的迭代格式,将其称为极小残量的MHSS（MRMHSS）迭代方法.与经典的MHSS迭代方法相比,MRMHSS迭代格式中多了两个迭代参数,但是它们的值可在迭代过程中方便地确定下来.然后,我们详细分析了MRMHSS迭代方法的理论性质.最后,通过四个实际应用中常见的数值算例并通过与几类现有方法进行比较验证了MRMHSS迭代方法的可行性和可靠性.第三章中对于一类大型稀疏且具有非对称正定系数矩阵的线性互补问题,我们将该问题转换为与之等价的隐式不动点方程组,然后给出一种高效的模系矩阵分裂迭代方法,称之为MINPS方法.该方法由内外迭代组成,其中,外迭代借助于模迭代格式,内迭代采用非精确计算方式对每步外迭代中的模迭代方程组实行预处理矩阵分裂迭代技巧.详细地分析了算法的收敛性质,亦通过数值例子比较了MINPS与已有迭代方法,获得了所论算法求解线性互补问题的有效性和可行性.对于科学计算和工程应用中广泛存在的线性离散不适定问题,LSQR是解决这类问题非常有效的方法之一,它具有存储量小、数值稳定性好等优点.但是,考虑到LSQR的迭代解具有半收敛性,即如果迭代步数太少那么迭代解不足以包含问题的解的足够信息,而迭代步数太多将导致迭代解积累大量的误差,所以如何及时地停止LSQR迭代过程显得至关重要.在第四章中,我们通过提出一种简单有效的停止准则进一步研究了LSQR迭代方法,具体来说,就是利用LSQR方法和Craig方法所得迭代解的残差来判定LSQR的正则参数.大量数值结果表明该方法能够很好地解决测量数据中噪音水平未知的实际问题.第五章中我们再次考虑了上述线性离散不适定问题,它的解对数据的扰动非常敏感,通常使用正则化方法来降低解的这种敏感性.基于Donatelli和Hanke（2013）提出的迭代Tikhonov正则化方法（AIT）,该方法中用一个易于运算的近似矩阵来近似原矩阵,从而能够减小计算量并对一些实际问题有很好的效果.但是,AIT方法的收敛条件在实际应用中很难满足且对数据扰动较为敏感,为此,我们提出了一种更加稳定的迭代方法来求解线性离散不适定问题,将该方法称为MAIT.文中对该方法的理论性质和收敛情况做了细致的分析.通过数值实验还发现,MAIT方法比AIT方法的适用范围更广泛,特别当测量数据中误差水平较低时,AIT会失效,但MAIT方法仍然可以有效地求解这类问题.
侯国亮[4]（2020）在《方程组解的可信验证方法》文中认为传统的数学证明是用纸和笔来完成的,而随着计算机技术的发展,一些问题的数学证明已经可以利用计算机来完成.可信验证正是利用计算机来数学证明某个问题在某区间内存在解的一种方法.另外,可信验证方法还可以解决数值方法几乎不能完成的工作.代数方程组的可信验证问题,即是建立有效的可信验证方法给出包含方程组解的区间量,又称为方程组的解存在性检验,是可信验证研究课题中的最基本问题之一.本文主要研究代数方程组解的可信验证方法及其INTLAB实现.代数方程组的可信验证问题来源于科学及工程计算的许多领域,比如火箭喷口受力分析,核磁共振机设计,数码机床控制等高风险应用领域中的很多问题最终都要归结为非线性方程组解的可信验证问题;再比如Stokes方程的求解,约束与加权最小二乘估计,约束优化,电磁方程的计算,电力系统与网络构造,计算机图形学的网格生成等具体问题,最终则要转化成线性方程组解的计算与验证问题.因此,研究、发展和完善代数方程组解的可信验证方法及其具体的算法实现程序具有重要的理论意义和很高的实用价值.考虑一般的n个未知量n个方程的非线性方程组f（x）=0,（1）其中f:Rn→Rn,f=（f1,f2…,fn）T,f1,f2…,fn为n2元非线性函数.直到目前为止,Rump在1983年所做的工作仍然是检验其解存在的最为基本最为实用的可信验证方法.Rump可信验证方法（即解存在性定理3.1.2和验证算法3.1.1）是利用Brouwer不动点定理和改进的Krawczyk区间算子S（x,x）=-Rf（x）+（In-RJf（x+x））x（2）建立的,其中x∈ Rn,x∈IRn且 0∈x,Jf（x+x）=∩{M∈IRn×n|（?）x ∈ x+x,Jf（x）∈ M},R∈Rn×n为任意非奇异矩阵.在Rump可信验证方法中,矩阵R取为Jf（x）-1,即有S（x,x）=-Jf（x）-1f（x）+(In-Jf（x）-1 Jf（x+x）x=:SR（x,x）,（3）+其中Jf（x）-1为映射f在x处的雅可比（Jacobian）矩阵Jf（x）的逆矩阵.从实际计算的角度看,区间算子S（x,x）（2）的SR（x,x）（3）形式需要额外耗费一定的计算量和时间去计算矩阵Jf（x）和进行区间运算.而如果把区间算子S（x,x）（2）中的矩阵R取为(mid Jf（x+x）-1,则所有不足都将迎刃而解.在第三章,我们首先利用R=（mid Jf（x+x））-1和区间量x,Jf（x+x）的中点半径表示形式x=mid x+rad x[-1,1]=mid x+1/2wid x[-1,1]和Jf（x+x）=mid Jf（x+x）+1/2wid Jf（x+x）[-1,1]给出了区间算子S（x,x）（2）的另一种具体形式,即SH（x,x）:=-(mid Jf（x+x）-1 f（x）+1/4|（mid Jf（x+xc））-1|wid Jf（x+x）wid x[-1,1]+1/2|（mid Jf（x+x））-1|wid Jf（x+x）|mid x|[-1,1].（4）对比区间算子S（x,x）（2）的SR（x,x）（3）形式和SH（x,x）（4）形式,我们不难发现形式SH（x,x）（4）不再涉及矩阵Jf（x）的计算,而替代它的矩阵mid Jf（x+x）可以从这两种形式都要使用的区间矩阵Jf（x+x）中直接获取,即我们无需再花费额外的计算量和时间去计算矩阵mid Jf（x+x）;还能发现形式SH（x,x）（4）不会直接涉及区间量之间的运算,这是因为（mid Jf（x+x））-1,wid Jf（x+x）∈ Rn×n和mid x,wid x∈Rn,即这些矩阵和向量都不是区间量,而在形式SR（x,x）（3）中,区间量之间的运算是不可避免的,这又是因为In-Jf（x）-1 Jf（x+x）∈ IRn×n和x∈IRn,即这些量都是区间量.所以,基于形式SH（x,x）（4）建立的验证算法的计算量要比基于形式SR（x,x）（3）建立的验证算法低很多.另外,在一些附加条件下,我们还证明了包含关系SH（x,x）SR（x,x）成立,其中x∈ Rn为非线性方程组（1）的非奇异解或单根,即雅可比矩阵Jf（x）非奇异.然后在验证算法3.1.1的基础上,我们利用区间算子S（x,x）（2）的SH（x,x）（4）形式和解存在性定理3.1.2给出了改进验证算法3.3.1.和原验证算法3.1.1相比,理论分析和数值结果都表明,改进验证算法3.3.1不仅节约了验证时间,而且还可以给出宽度更窄（或至少相同）的包含非线性方程组（1）解的区间向量.由于基于Brouwer不动点定理建立的解存在性定理（比如定理3.1.1和3.1.2）的假设条件都是用一个区间上所有点的信息刻画的,这使得该类定理的假设条件不太容易满足,所以由其建立的可信验证方法（即Rump型可信验证方法）只有借助高精度的初值才能验证成功,这对Rump型可信验证方法的广泛应用是极为不利的.而对应的,由于Kantorovich存在定理的假设条件是基于一点的信息进行刻画的,这使得它的假设条件更容易得到满足,所以用其建立的可信验证方法对于精度较低的初值也能验证成功.由此可以想象的到,这类可信验证方法必定有着广泛的应用前景.在解存在性检验研究史上,曾经也有学者就应用Kantorovich存在定理检验非线性方程组（1）解存在问题进行过深入的研究,但遗憾的是所做的工作均处于理论阶段,没有给出具体的算法实现程序.在第四章,我们给出了应用Kantorovich存在定理验证非线性方程组（1）解存在的具体算法实现程序.Kantorovich存在定理是前苏联着名数学家Kantorovich在20世纪50年代研究非线性方程组（1）的Newton迭代解法的收敛性、误差估计等问题时提出、并利用优界方程思想证明的.其具体内容如下:定理1设非线性映射f:DRn→Rn及x∈ Rn满足下列条件:1.f（x）-1 存在,且 ‖f’（x）-1‖≤β,‖f’（x）-1（x）-1f（x）‖≤η;2.x∈U（x,2η）D,f’（x）存在且满足Lipschitz条件‖f’（x）-f’（y）‖ ≤ K‖x-y‖,x,y ∈ U（x,2η）.（5）若ρ:=kβη≤0.5,则非线性方程组f（x）=0于x的δ-领域U（x,δ）有唯一解x存在,其中δ=η.从定理1不难发现,应用Kantorovich存在定理验证非线性方程组（1）解存在的难点是严格计算Lipschitz条件（5）中的常系数k.为了解决这一难题,我们首先根据多元分析理论和矩阵理论,并借助张量表示法给出了一个可用于计算Lipschitz常系数K的具体表达式其中表示多元函数fi在x∈U（x,2η）处的二阶偏导数,i,j,k=1,2,…,n2.因为根据区间分析理论可知,对任意的x∈U（x,2η）有其中（?）（x）表示二阶偏导函数（?）在区间向量x=[x-2η,x+2η]上的具包含单调性的区间扩展,0≤yi∈IR,i,j,k=1,2,…,n,而区间yi可由INTLAB/Matlab命令语句Yi=fi（hessianinit（x））和yi=norm（Yi.hx,Inf）直接获得,所以在实际计算时,量Ki:=（?）的大小是通过区间量yi计算的,即ki=yi,其中yi为区间yi的上端点.于是K=n max{K1,K2,…,Kn}.然后在理论研究的基础上,我们利用INTLAB/Matlab软件给出了应用Kan-torovich 存在定理验证非线性方程组（1）解存在的具体算法实现程序,即算法 4.3.1和 4.3.2.相对于流行的Rump型验证算法（即算法3.1.1和3.3.1）,理论分析和数值实验均表明,我们的Kantorovich型验证算法（即算法4.3.1和4.3.2）具有以下两方面的优势:一是该验证算法对初值的精度要求不高,即该验证算法使用精度较低的初值就能验证成功;二是该验证算法具有承袭性,即在验证过程中,如果因为初值精度低导致验证失败,需要通过提高初值精度再次进行验证时,该验证算法在新的验证步中可以利用上个验证步中的部分运算结果以降低运算量.第五章研究了鞍点线性方程组（?）（7）的可信验证问题,其中矩阵A ∈ Rn×n对称正定,B∈ Rm×n行满秩;右端项c∈ Rn,d ∈Rm;向量x∈Rn,y ∈ Rm 为未知量;n≥m.该类问题的应用背景十分广泛,诸如计算流体力学,约束与加权最小二乘估计,约束优化,电磁方程的计算,电力系统与网络构造,计算机图形学的网格生成等具有不同应用背景的数学模型问题,最终都要转化为大规模的鞍点线性方程组（7）解的计算与验证问题.由于传统的线性方程组解的可信验证方法均需要使用系数矩阵的数值近似逆,而对于鞍点线性方程组（7）的系数矩阵H∈R（m-n）×（m-n）,一是其条件数会随着问题规模的扩大而变大;二是其逆矩阵一般情况下不再具有稀疏性,所以这些传统的可信验证方法对于维数l:=m+n很大的鞍点线性方程组（7）就不再有效.为了避免使用系数矩阵H的数值近似逆,2009年,Kimura和Chen首先利用块对角预处理子及其代数分析理论解决了量‖H-1‖2的实际计算问题,即（?）（8）然后他们利用界估计式（8）给出了线性方程组（7）如下的误差界:（9）其中u,u∈R1分别表示鞍点线性方程组（7）的准确解和满足一定精度的数值解.再由矩阵A和BBT的对称性,可得其中Q（A）表示矩阵A的谱半径.于是根据误差界（9）又可得（10）一般来说,误差界（10）比误差界（9）更容易实现.另外在条件下,还有（11）其中A-1和BBT-1分别表示矩阵A和BBT的满足一定精度的数值近似逆.由矩阵A和BBT的对称正定性和当今求逆方法的数值稳定性可知,数值矩阵A1和BBT-1是十分接近矩阵A1和（BBT）1的,所以条件‖A-1A-In‖∞<1和‖BBT-1（BBT）-Im‖∞<1是容易成立的.综上所述,Kimura和Chen的可信验证方法可归纳为如下形式:（12）可信验证方法（12）的优点是避免使用系数矩阵H的数值近似逆,采用了更易实现的误差界（10）,并应用界估计式（11）来达到快速计算量‖A-1‖∞和‖（BBT）-1‖∞的目的.该验证方法的不足是量‖（BBT）-1‖∞有时候会很大,这会导致可信验证方法（12）给出的结果没有实用价值.此外,尽管矩阵A是稀疏的,但是其数值近似逆A-1不再具有稀疏性.这将导致我们无法利用计算机有效解决更大规模的鞍点线性方程组（7）的可信验证问题.为了弥补可信验证方法（12）的不足,我们给出了如下的改进可信验证方法.首先,由矩阵A-1和（BBT）-1的实对称正定性可得其中λmin（·）表示实对称正定矩阵A和BBT的最小特征值.其次,如果还存在正实数α,β分别使得矩阵A-αIn和BBT-βIm亦为实对称正定矩阵,则λmin（A）>α>0 和λmin（BBT）>β>0.所以,我们有（13）最后,利用矩阵A的对称性和误差界（9）又可得（14）综上所述,我们的可信验证方法如下:（15）在实际应用时,为了确保可信验证的顺利实现和效果,可信验证方法（15）中的正实数α和β一般要分别选取为α=0.9λmin（A）或0.95λmin（A）,β=0.9λmin（BBT）或0.95λmin（BBT）,其中λmin（·）表示实对称正定矩阵A或BBT的最小特征值的数值近似,可采用反幂法求之.由于矩阵A和BBT的对称正定性和当今计算矩阵极大极小特征值技术的先进性,所以上述的解决方案是可行的.实对称矩阵A-αIn和BBT-βIm的正定性判断则由INTLAB函数isspd来完成.理论结果和数值结果均表明,改进后的可信验证方法（15）不仅耗费的计算时间比原可信验证方法（12）的少,而且给出的解的误差界也比可信验证方法（12）的小.另外,有关理论分析和数值结果还表明,可信验证方法（15）对于更大维数的鞍点线性方程组（7）仍然有效,所以可信验证方法（15）的适用范围要比可信验证方法（12）的广泛.除上述研究工作外,我们还利用鞍点矩阵H的特有结构和特殊性质以及矩阵基本理论,给出了界估计式（8）的另一种证明方法.与原证明法相比,新证明方法更简单明了.
李绍刚,迟晓妮[5]（2020）在《正定矩阵的性质研究及应用》文中研究指明总结了正定矩阵的基本性质,并对其性质进行了推广,最后给出了正定矩阵在方程根和不等式方面的应用。
章联生[6]（2020）在《时滞忆阻神经网络动力学分析与控制》文中研究指明忆阻器（memristor）,作为第四种基本电路元件,自1971年被美籍华裔科学学L.O.Chua预言存在并引入科技界以来,一直为世界各国科技工作者所关注。特别是2008年美国Hewlett-Packard实验室的研究团队率先宣布,他们成功研制出基于纳米级二氧化钛薄膜的忆阻器实际物理模型之后,关于忆阻器以及忆阻器神经网络的研究热潮随即在世界范围掀起,越来越多的学者开始加入忆阻相关课题的研究行列,并取得了丰硕的研究成果。忆阻器是一种无源的二端电子元件,同时也是一种纳米级元件,具有低能耗、高存储量、小体积和非易失性即有记忆功能特点。作为一种新型的存储器件,忆阻器的研制,有望实现人脑特有的信息存储与信息处理的一体化的功能,打破目前的冯·诺伊曼（Von Neumann）计算机架构,为下一代计算机提供了一种全新的设计架构。忆阻器与生物神经元突触有着十分相似的功能,都具备记忆功能,使其展现出广泛的应用前景。近年来,一些研究者用忆阻器代替Hopfield神经网络中的突触连接,成功地建立了一种全新的基于忆阻器的人工神经网络。总之,忆阻器的问世,为人工神经网络从电路上模拟人脑提供了可能,必将极大推动人工智能的发展。本文研究了基于忆阻器的时滞神经网络（即时滞忆阻神经网络）的动力学行为与控制问题。由于时滞忆阻神经网络是一种特殊的状态依赖的切换系统,其右端是非连续的,因而经典的微分方程的理论已经不适用,必须另辟蹊径,这是本文的研究难点。为此,本文引进了微分包含和集值映射理论,设法将时滞忆阻神经系统转化为常规时滞神经网络系统开展创新研究。借助于李雅普诺夫稳定性理论,重点研究了几类时滞忆阻神经网络系统动力学行为与控制,包括稳定性、耗散性、无源性和有限时间稳定性等方面,得到了基于线性矩阵不等式形式或M-矩阵形式的充分条件并据此设计相关控制器。主要创新研究工作如下:首先,建立了一类只含离散时滞τ（t）且其落在某个固定区间[τ1,τ2]的忆阻神经网络系统的数学模型。在此基础上,分析了该忆阻神经网络系统全局渐进稳定性和指数稳定性,基于非光滑分析和微分包含理论,将时滞忆阻神经系统转化为常规时滞神经网络系统,首次采用了新型时滞乘积形式的李雅普诺夫泛函讨论其全局渐进稳定性,得到了上述时滞忆阻神经网络基于线性矩阵不等式（LMIs）形式的全局渐进稳定和指数稳定的充分条件,并据此设计了相应的指数镇定控制器。其次,研究了一类含混合时滞（同时包含离散、分布和泄漏时滞）的忆阻神经网络系统的耗散性与无源性。基于集值映射和微分包含理论,讨论了这类时滞忆阻神经网络的无源性与耗散性。通过建立适当的Lyapunov-Krasovskii泛函,并借助改进的Wirtinger积分不等式和倒数凸组合不等式,得到了该系统保守性更低的严格（Q,R,S）-γ-耗散与无源的判据。由于该系统讨论的是混合时滞,模型更一般化,所以本文所导出的这些判据,覆盖了现有文献上的结果。由于在实际工程问题总存在随机因素,很多时候不能简单地忽略它们的存在,所以本文也由确定时滞忆阻神经网络转向随机时滞忆阻神经网络的研究。于是,讨论了一类随机时滞忆阻神经网络的无源性、耗散性问题。借助非光滑分析理论和随机微分包含理论,分析了这类随机时滞忆阻神经网络的无源性与耗散性,得到了该系统均方意义下的无源性和均方意义下的严格（Q,R,S）-γ-耗散性的充分条件。鉴于有限时间稳定性比无穷时间稳定性更实用、更被人们关注。本文最后研究了一类时滞忆阻神经网络有限时间稳定性与镇定问题。基于已有的结果,将一般神经网络的有限时间稳定性概念、理论推广到时滞忆阻神经网络系统,通过构造适当的Lyapunov泛函,并借助于Dini导数理论,导出了该系统基于M-矩阵形式的有限时间稳定的充分条件,并在此基础上,设计了有限时间的非线性状态反馈镇定控制器。
邢智勇[7]（2019）在《分数阶扩散方程和分数阶Sine-Gordon方程的数值方法及其快速实现》文中研究指明大量研究表明具有非局部特性的分数阶微分算子非常适用于描述具有记忆特性和遗传性质的材料.因此,近年来分数阶微分方程得到了广泛的关注和应用.然而很多分数阶微分方程的解析解是很难得到的,于是在实际应用中数值模拟成为研究分数阶微分方程的一个重要手段.本文致力于二维Riesz空间分数阶扩散方程及分数阶Sine-Gordon方程的有效数值格式及快速算法的研究.第二章中,采用ADI-CN格式将二维Riesz空间分数阶扩散方程转化成一系列相互独立的一维问题.基于所得到的一维问题的系数矩阵均为实对称正定Toeplitz矩阵,我们提出了一种快速算法来加速该数值格式的实现.最后通过数值算例验证了理论分析的正确性及发展的快速算法在实现该数值格式时的高效性.第三章中,介绍了一个拟紧差分格式求解二维Riesz空间分数阶扩散方程.并运用一些新的技巧证明了该数值格式在离散l∞范数下的收敛阶为O（τ2+hx4+hy4）.基于所得差分方程组系数矩阵的特殊形式,提出了一种新的快速算法用于加速该差格式的实现.最后给出一些数值算例验证了理论分析的正确性及发展的快速算法在执行该差分格式时的高效性.第四章中,提出了一个守恒隐式差分格式求解一维Riesz空间分数阶Sine-Gordon方程.并对该数值格式进行了严格的理论分析.为了降低计算开销,提出了一种修改的牛顿迭代法来加速该差分格式的实现.最后通过一些数值实验验证了差分格式的有效性及发展的修改的牛顿迭代法的高效性.第五章中,将第四章发展的差分格式拓展到求解二维Riesz空间分数阶Sine-Gordon方程.并给出了该差分格式的理论分析结果.为了降低计算量,我们采用一种快速算法来加速该差分格式的实现.第六章中,为了避免迭代求解非线性方程组,我们发展了一个线性化差分格式求解时间分数阶Sine-Gordon方程.并对该数值格式进行了严格的理论分析.最后通过数值算例验证了理论结果的正确性.
黄毅[8]（2014）在《亚正定矩阵的充要条件》文中进行了进一步梳理建立了实对称正定矩阵的推广概念亚正定矩阵的一些充分必要条件.
黄毅[9]（2013）在《复正定矩阵的性质和分类》文中研究指明建立了作为广义正定矩阵的复正定矩阵的一些基本性质,总结并给出了实对称正定矩阵、Hermite正定矩阵、亚正定矩阵和复正定矩阵4类正定矩阵之间的相互关系.
黄灿[10]（2013）在《正定矩阵的性质及一些正定矩阵不等式》文中研究表明正定矩阵在矩阵理论中占有十分重要的地位。本文对正定矩阵的性质及正定矩阵的几类不等式进行了研究，还讨论它的一些应用。论文首先讨论了实正定矩阵和复正定矩阵的性质及等价命题，其次将实数理论中的一些不等式推广到正定矩阵上，获得了正定矩阵的Young型不等式和Heinz不等式的Hilbert-Schmidt范数形式，改进了矩阵的Holder型不等式，最后阐述了正定矩阵在数理统计、物理等学科的具体应用。
二、实对称正定矩阵的推广（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、实对称正定矩阵的推广（论文提纲范文）
（1）几类分数阶微分方程的快速数值算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 缩略词表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 分数阶导数的定义与性质 |
| 1.3 分数阶方程的常见数值算法 |
| 1.4 研究内容及创新点 |
| 1.5 本文结构安排 |
| 第二章 时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程的快速隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 数值格式 |
| 2.2.1 数值格式的推导 |
| 2.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 2.3 快速算法 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程的快速二阶隐式差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值格式 |
| 3.2.1 数值格式的推导 |
| 3.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 3.3 快速算法 |
| 3.3.1 一维情况 |
| 3.3.2 二维情况 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速隐式积分因子法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数值格式 |
| 4.2.1 空间半离散 |
| 4.2.2 隐式积分因子法 |
| 4.3 快速算法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 二维非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速紧隐式积分因子法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 数值格式 |
| 5.2.1 空间半离散 |
| 5.2.2 快速紧隐式积分因子法 |
| 5.3 线性稳定性分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（2）利用同时合同对角阵解决几类正定矩阵相关问题（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 主要引理 |
| 2.1 正定矩阵与半正定矩阵的基本知识 |
| 2.2 两个矩阵的同时合同对角阵 |
| 3 两正定矩阵的相关性质 |
| 4 应用 |
（3）复对称问题、线性互补问题和线性离散不适定问题的四种数值解法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 复对称问题的应用背景及研究现状 |
| 1.2 线性互补问题的应用背景及研究现状 |
| 1.3 线性离散不适定问题的应用背景及研究现状 |
| 1.4 本文的研究工作与结构安排 |
| 第二章 复对称线性系统的MRMHSS迭代方法 |
| 2.1 MRMHSS迭代方法的提出 |
| 2.2 MRMHSS方法的性质及收敛理论 |
| 2.3 数值结果 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 求解线性互补问题的MINPS迭代方法 |
| 3.1 MINPS迭代方法的提出 |
| 3.2 MINPS方法的收敛性分析 |
| 3.3 数值结果 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 新型停机准则下的LSQR迭代方法 |
| 4.1 新型停机准则 |
| 4.2 数值算例 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 线性离散不适定问题的MAIT迭代方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 AIT方法 |
| 5.3 MAIT方法 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.4.1 参数β的一种非定常选取办法 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 未来工作的展望 |
| 参考文献 |
| 在读期间的科研成果 |
| 致谢 |
（4）方程组解的可信验证方法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| abstract |
| 符号说明 |
| 第1章 绪论 |
| §1.1 可信验证方法概述 |
| §1.2 方程组的可信验证问题概述 |
| §1.2.1 线性方程组的可信验证问题 |
| §1.2.2 非线性方程组的可信验证问题 |
| §1.3 论文结构及主要工作 |
| §1.3.1 论文结构 |
| §1.3.2 主要工作 |
| 第2章 准备知识 |
| §2.1 区间分析理论 |
| §2.1.1 基本概念及表示 |
| §2.1.2 区间运算及其代数性质 |
| §2.1.3 区间值函数 |
| §2.1.4 区间迭代法及其收敛理论 |
| §2.1.5 INTLAB |
| §2.2 线性鞍点问题 |
| §2.2.1 若干经典背景 |
| §2.2.2 鞍点矩阵的基本性质 |
| 第3章 基于Krawczyk区间算子的非线性方程组解的可信验证方法 |
| §3.1 预备知识 |
| §3.2 主要理论结果 |
| §3.3 改进的可信验证算法 |
| §3.4 数值结果 |
| 第4章 基于Kantorovich存在定理的点估计可信验证方法 |
| §4.1 预备知识 |
| §4.2 三维矩阵范数界定 |
| §4.3 可信验证算法 |
| §4.4 数值实验与结果 |
| 第5章 线性鞍点问题的可信验证 |
| §5.1 研究问题概述 |
| §5.2 一种新证明方法 |
| §5.3 可信验证算法 |
| §5.4 数值实验与结果 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简介及科研成果 |
| 致谢 |
（5）正定矩阵的性质研究及应用（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 基本引理 |
| 2 正定性质的推广 |
| 3 正定性的应用 |
| 3.1 特征值和方程根方面的应用 |
| 3.2 不等式方面的应用及推广 |
| 4 结论 |
（6）时滞忆阻神经网络动力学分析与控制（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号及缩写表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 课题的提出及研究目的和意义 |
| 1.3 课题的国内外研究概况 |
| 1.3.1 时滞忆阻神经网络稳定性与镇定的研究概述 |
| 1.3.2 时滞忆阻神经网络耗散性与无源性的研究概述 |
| 1.4 课题的研究内容与技术方法 |
| 1.4.1 研究内容 |
| 1.4.2 技术方法 |
| 1.4.3 本文主要内容安排 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 微分包含和集值映射的有关知识 |
| 2.2 矩阵论相关知识 |
| 2.2.1 有关M-矩阵的知识 |
| 2.2.2 其他的矩阵论知识 |
| 2.3 改进的积分不等式 |
| 2.4 本章小结 |
| 3 时滞忆阻神经网络的稳定性分析及控制 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 模型的建立及预备知识 |
| 3.3 主要结果 |
| 3.3.1 全局渐进稳定性分析 |
| 3.3.2 指数稳定性分析及控制器的设计 |
| 3.4 数值例子 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 具有混合时滞的忆阻神经网络的耗散性与无源性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型的描述及预备知识 |
| 4.3 耗散性及无源性分析 |
| 4.4 数值例子 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 随机时滞忆阻神经网络的耗散性与无源性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 模型的描述及预备知识 |
| 5.3 随机时滞忆阻神经网络耗散性与无源性分析 |
| 5.4 数值例子 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 时滞忆阻神经网络有限时间的稳定性与镇定 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 模型(问题)描述及预备知识 |
| 6.3 有限时间的稳定性分析与镇定 |
| 6.4 数值例子 |
| 6.5 本章小结 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A 攻读博士学位期间本人发表的学术论文 |
| B 攻读博士学位期间本人主持或参与的主要科研项目 |
| C 攻读博士学位期间本人参加的学术会议 |
| D 攻读博士学位期间本人担任审稿人的情况 |
| E 学位论文数据集 |
| 致谢 |
（7）分数阶扩散方程和分数阶Sine-Gordon方程的数值方法及其快速实现（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 分数阶算子简介 |
| §1.2 研究背景与现状 |
| §1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 一类二维Riesz空间分数阶扩散方程的ADI-CN格式及快速实现 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 ADI-CN格式 |
| §2.3 理论分析 |
| §2.4 数值格式的快速实现 |
| §2.5 数值实验 |
| §2.6 本章小结 |
| 第三章 二维Riesz空间分数阶扩散方程的拟紧差分格式的数值分析与快速实现 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 拟紧差分格式 |
| §3.3 理论分析 |
| §3.4 数值格式的快速实现 |
| §3.5 数值实验 |
| §3.6 本章小结 |
| 第四章 一维Riesz空间分数阶Sine-Gordon方程的能量守恒差分格式 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 能量守恒差分格式 |
| §4.3 理论分析 |
| §4.4 数值格式的快速实现 |
| §4.5 数值实验 |
| §4.6 本章小结 |
| 第五章 二维Riesz空间分数阶Sine-Gordon方程的能量守恒差分格式 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 能量守恒差分格式 |
| §5.3 理论分析 |
| §5.4 数值格式的快速实现 |
| §5.5 数值实验 |
| §5.6 本章小结 |
| 第六章 时间分数阶Sine-Gordon方程的线性化差分格式 |
| §6.1 引言 |
| §6.2 线性化差分格式 |
| §6.3 理论分析 |
| §6.4 数值实验 |
| §6.5 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间发表的学术论文与承担的项目 |
（8）亚正定矩阵的充要条件（论文提纲范文）
| 0引言 |
| 1定义 |
| 2亚正定矩阵的充要条件 |
（9）复正定矩阵的性质和分类（论文提纲范文）
| 0引言 |
| 1 4类正定矩阵的定义 |
| 2引理 |
| 3复正定矩阵的一些性质 |
| 4 4类正定矩阵的相互关系 |
（10）正定矩阵的性质及一些正定矩阵不等式（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号 |
| 1 绪论 |
| 1.1 正定矩阵研究的背景 |
| 1.2 本论文的主要内容 |
| 2 正定矩阵的性质 |
| 2.1 实正定矩阵 |
| 2.2 复正定矩阵 |
| 本章小结及展望 |
| 3 正定矩阵的不等式及应用举例 |
| 3.1 矩阵的 Young 型不等式和 Heinz 型不等式 |
| 3.2 矩阵的 Minkowski 不等式和 H?lder 型不等式及其改进 |
| 3.2.1 矩阵的 Minkowski 不等式 |
| 3.2.2 矩阵的 H?lder 型不等式 |
| 3.3 正定矩阵迹的不等式 |
| 3.4 正定矩阵的平均不等式 |
| 3.5 正定矩阵的应用 |
| 本章小结及展望 |
| 4 综合论述 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
四、实对称正定矩阵的推广（论文参考文献）
- [1]几类分数阶微分方程的快速数值算法研究[D]. 蹇焕燕. 电子科技大学, 2021(01)
- [2]利用同时合同对角阵解决几类正定矩阵相关问题[J]. 刘潇奕. 高等数学研究, 2021(01)
- [3]复对称问题、线性互补问题和线性离散不适定问题的四种数值解法研究[D]. 张维红. 兰州大学, 2020(04)
- [4]方程组解的可信验证方法[D]. 侯国亮. 吉林大学, 2020(08)
- [5]正定矩阵的性质研究及应用[J]. 李绍刚,迟晓妮. 河南教育学院学报(自然科学版), 2020(01)
- [6]时滞忆阻神经网络动力学分析与控制[D]. 章联生. 重庆大学, 2020(02)
- [7]分数阶扩散方程和分数阶Sine-Gordon方程的数值方法及其快速实现[D]. 邢智勇. 湘潭大学, 2019(12)
- [8]亚正定矩阵的充要条件[J]. 黄毅. 成都大学学报(自然科学版), 2014(03)
- [9]复正定矩阵的性质和分类[J]. 黄毅. 成都大学学报(自然科学版), 2013(03)
- [10]正定矩阵的性质及一些正定矩阵不等式[D]. 黄灿. 重庆大学, 2013(03)